MERKEZ DAĞILIM (YAYILIM, DEĞİŞKENLİK) ÖLÇÜLERİ

Grup homojenliğinin veya heterojenliğinin belirlenmesinde merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Merkezi dağılım ölçüleri, grup başarısının ne düzeyde olduğu hakkında bize bilgi vermez. Merkezi dağılım ölçüleri, dağılımların başarıları bakımından nasıl dağıldıkları, ölçülen özellik bakımından birbirlerinden ne kadar farklılaşıp farklılaşmadıkları (yani homojenliği veya heterojenliği) hakkında bilgi verir. Merkezi dağılım ölçüleri şunlardır: 1)    Standart sapma (standart kayma) 2)    Varyans 3)    Bağıl değişkenlik katsayısı 4)    Çeyrek sapma

Ranj (dizi genişliği)

Histogram (sütun, bar) grafiklerinde aritmetik ortalama hesaplama:

Histogram (sütun, bar) grafiklerinde aritmetik ortalama hesaplama: Histogram (bar) grafiklerindeki aritmetik ortalama hesaplaması, gruplandırılmış verilerdeki aritmetik hesaplamasıyla aynıdır. Yani veriler (puanlar) puan aralıkları şeklinde verilmişse; aritmetik ortalamayı hesaplamak için öncelikle o puan aralığının orta değeri (Xo) bulunur. Bulunan orta değer (Xo), o puan aralığındaki kişi sayısı (f) ile çarpılarak f.Xo değeri elde edilir. Daha sonra bütün puan aralıklarına bu işlem uygulanarak elde edilen f.Xo değerleri toplanır ve puan dağılımındaki toplam kişi sayısına bölünür. 

Ölçüm sonuçlarının sayısı (veri sayısı) tek olduğunda medyan hesaplama:

Ölçüm sonuçlarının sayısı (veri sayısı) tek olduğunda medyan hesaplama: Bir puan dağılımında veri sayısı (n) (yani puan dağılımındaki puanların toplam adet sayısı) tek ise, (puanlar sıralı değilse öncelikle puanları küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralarız), veri sayısı 1 ile toplanır ve sonra ikiye bölünür ve ortaya çıkan sayı medyan’ın kaçıncı sıradaki puan olduğunu gösterir.                                                                  Örnek; Coğrafya dersinde vize sınavına ait öğrencilerin notları şu şekildedir: 25, 46, 55, 32, 62, 83, 50, 75, 68.  Bu puan dağılımında puanlar sırala olmadığından, önce puanları küçükten büyüğe doğru şu şekilde sıralarız.   25, 32, 46, 50, 55, 62, 68, 75, 83.  Bu puan dağılımında (veri grubunda) 9 adet puan vardır. Veri sayısı tek olduğu için bu veri sayısını önce 1 ile toplayacağız, daha sonra ise ikiye bölerek medyanın kaçıncı sıradaki puan olduğunu bulacağız.                                    =  5      Sıralanmış puan dağılımındaki (25, 32, 46, 50, 55, 62, 68, 75, 83) 5. sıradaki puan olan 55 medyandır.

Histogram (bar) grafiklerinde

Histogram (bar) grafiklerinde en yüksek frekansa sahip olan sütun grup aralığının orta değeri moddur

ARİTMETİK ORTALAMA, MOD VE MEDYANIN KARŞILAŞTIRILMASI

1)    Aritmetik ortalama, mod ve medyana göre daha fazla bilgi verir. Sebebi ise; aritmetik ortalamayı hesaplarken gözlenen tüm ölçümlerin katılmasıdır. 2)    Aritmetik ortalama dağılımına eklenen çok yüksek veya çok düşük puanlardan anında etkilenir. Fakat mod ve medyan bu değişime dirençlidir. 3)    Normal (simetrik) dağılımlarda grup başarısı yorumunu aritmetik ortalama, çarpık dağılımlarda (sağa ve sola çarpık) ise medyan yaptırır. Normal (simetrik) dağılım: Bir puan dağılımında mod, medyan ve aritmetik ortalama eşitse bu dağılımlar normal dağılımlardır. Sağa çarpık (pozitif kayışlı) dağılım: Gruptaki öğrencilerin çoğunun başarısının düşük olduğu, uygulanan sınavın zor olduğu, grubun %70’inden fazlasının aritmetik ortalama değerinden düşük puan aldığı ve “Aritmetik ortalama > Medyan ≥ Mod” sıralamasının oluştuğu dağılımlardır. Sola çarpık (negatif kayışlı) dağılım: Gruptaki öğrencilerin çoğunun başarısının yüksek olduğu, uygulanan sınavın kolay olduğu, grubun %70’inden fazlasının aritmetik ortalama değerinden yüksek puan aldığı ve “Aritmetik ortalama < Medyan ≤ Mod” sıralamasının oluştuğu dağılımlardır.

STANDART SAPMA (STANDART KAYMA):

Standart sapma, bir puan dağılımındaki ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığının ortalamasını veren bir yayılma ölçüsüdür. Bir grubun başarısını belirlemek amacıyla sadece aritmetik ortalama kullanmak yeterli değildir. Aritmetik ortalama öğrencilerin başarıları hakkında bilgi vermesine rağmen öğrencilerin aritmetik ortalama etrafındaki yayılımları farklı olabilir. Öğrencilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını belirleyen ölçüler ise standart sapmadır. Standart sapma normal dağılımın her diliminde yer alır. Normal dağılımda, dağılımın tam ortasında öğrenci puanlarının ortalaması ve her bir diliminde ise standart sapma miktarı vardır.  STANDART SAPMA BÜYÜKSE (BASIK DAĞILIM) 1 Öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine uzaktır. 2 Öğrenciler arasındaki farklılaşma fazladır (puan dağılımı geniş bir alana yayılır). 3 Testin uygulandığı grup heterojendir. 4 Uygulanan testin ayırt ediciliği yüksektir. 5 Testin güvenirliği yüksektir. STANDART SAPMA KÜÇÜKSE (SİVRİ DAĞILIM) 1 Öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine yakındır. 2 Öğrencilerin arasındaki farklılaşma azdır (puan dağılımı dar alana yayılır). 3 Testin uygulandığı grup homojendir. 4 Uygulanan testin ayırt ediciliği düşüktür. 5 Testin güvenirliği düşüktür.

Örnek; Bir sınıfta uygulanan Türkçe testi sonucunda elde edilen puanların aritmetik ortalaması 70, standart sapması ise 3 olarak bulunmuştur. Buna göre Türkçe testinin dağılımı şu şekilde oluşur:

 

               

  -3         -2             -1                      1            2            3

 61          64          67             70           73           76           79

Normal dağılımda, dağılımın tam ortasında öğrenci puanlarının aritmetik ortalaması olan 70 puan, her bir dilime ise dağılımın standart sapması olan 3 yazılmıştır. Buna göre, bu dağılımın en düşük notunun 61, en yüksek notunun 79 olduğu söylenebilir. Türkçe testinde puanlar 61-79 arasında değişmektedir. Standart sapma küçük olduğu için (3) bu testte puanlar homojen (benzer) özellikler göstermektedir. Yani puanlardaki dağılım dar alana yayılmıştır.

VARYANS:

VARYANS:  Varyans, standart sapma değerinin karesinin alınmasıyla hesaplanır.  Veya varyans, standart sapma formülündeki karekökün işleme dâhil edilmemesi suretiyle de elde edilebilir. Standart sapma için yapılmış olan tüm yorumlar varyans için de geçerlidir. Zaten varyansın karekökü, standart sapma olarak adlandırılır.

Varyans, bir puan dağılımına ait her bir değerin, dağılımın ortalamasından ne kadar uzak olduğuyla ilgilidir. Varyans söz konusu sapmaların ortalama değerini ölçmektedir. Özellikle çok fazla kişinin katıldığı (2000, 3000 kişi vb.) ölçmelerde daha duyarlı ölçümler yapar.